时域相乘频域卷积带宽变化
时域相乘，也称为卷积，是一种数学运算，其中两个函数在时域中相乘，产生一个新的函数，称为卷积函数。
在频域中，卷积运算可以表示为两个函数的频谱的点积。 频谱是函数的傅里叶变换，它将函数从时域变换到频率域。
带宽变化
时域中的卷积会导致频域中的带宽变化。 具体来说：
卷积后带宽减小：如果两个函数的带宽不重叠，则卷积后的函数的带宽将比任何一个输入函数的带宽都要窄。 这种情况通常发生在两个函数的持续时间明显不同时。
卷积后带宽增加：如果两个函数的带宽重叠，则卷积后的函数的带宽将比任何一个输入函数的带宽都要宽。 这种情况通常发生在两个函数的持续时间相似时。
特殊情况：如果两个函数的带宽彼此正交（即没有重叠），则卷积后的函数的带宽将与输入函数的带宽相同。
示例
考虑两个带宽为 [0, B1] 和 [B2, B3] 的函数 f(t) 和 g(t)。 它们的卷积 h(t) 的频谱将是 f(ω) 和 g(ω) 点积的结果。
当 B1 和 B3 不重叠时：点积将为零，因为两个频谱没有重叠的部分。 因此，h(ω) 将为零，这意味着 h(t) 的带宽为 0。
当 B1 和 B3 重叠时：点积将为非零值，因为两个频谱有重叠的部分。 因此，h(ω) 将是非零值，这意味着 h(t) 的带宽比任何一个输入函数都要宽。
应用
时域相乘频域卷积的带宽变化在信号处理和图像处理中有着广泛的应用，包括：
滤波：通过使用适当的滤波器核与信号进行卷积，可以滤除信号中的特定频率分量。
图像锐化：通过使用具有锐化核的卷积，可以增强图像的边缘。
模式识别：通过使用与目标模式相似的卷积核进行卷积，可以在图像或信号中识别模式。
